数学归纳法 - Lin's Blog

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数学归纳法

2026-07-12

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数学归纳法通过基础成立 + 递推成立证明命题对所有自然数成立（通过有限步骤覆盖无限情况），其本质是构造一个“多米诺骨牌效应”：

证明第一块骨牌倒下（基础步骤）
证明任意一块骨牌倒下会导致下一块倒下（归纳步骤）
→ 所有骨牌最终都会倒下

标准归纳#

奠基
证明当 $n$ 取第一个值 $n_0$ （通常 $n_0=1$ 或 $0$ ）时，命题 $P(n_0)$ 成立
归纳递推
假设 $n=k$ $(k≥n_0)$ 时命题成立（这叫作归纳假设），然后利用这个假设去证明 $n=k+1$ 时命题也成立
可以断定：对所有 $n≥n_0$ 的正整数，命题 $P(n)$ 恒成立

例题

证明伯努利不等式，若 $x>-1$ ，对正整数 $n$ ，有

(1+x)^n\ge 1+nx

当且仅当 $x=0$ 或 $n=1$ 时等号成立

证明

奠基
当 $n=1$ 时，左边 $1+x$ ，右边 $1+x$ ，命题成立
归纳假设
假设当 $n=k(k\ge 1)$ 时不等式成立，即 $(1+x)^k\ge 1+kx$
归纳递推
要证 $n=k+1$ 时也成立，由于 $X>-1$ ，所以 $1+x>0$ ，将归纳假设两边同乘正数 $1+x$ ，不等号方向不变: $(1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x)\ge (1+kx)(1+x)$ 展开右边: $(1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx^2=1+(k+1)x+kx^2.$ 因为 $k\ge1$ 且 $x_2\ge 0$ ，所以 $kx_2≥0$ ，因此 $1+(k+1)x+kx^2≥1+(k+1)x$ 于是 $(1+x)^{k+1}≥1+(k+1)x.$ 综上所述，对所有正整数 $n$ ，不等式成立

强归纳法#

假设 $P(1), P(2), \ldots, P(k)$ 全部成立，推 $P(k+1)$
适用场景：命题依赖多个前项（如斐波那契数列）

跳跃归纳法#

基础：验证 $P(n_0), P(n_0+1), \ldots, P(n_0+d-1)$
推：由 $P(k)$ 推 $P(k+d)$
适用场景：奇偶分类或周期性命题

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